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圆锥曲线知识点

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发布于: 知识归纳, ,

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正文:

圆锥曲线知识点、考点罗列 
1.轨迹方程
【知识点的认识】
1.曲线的方程和方程的曲线
在平面内建立直角坐标系以后,坐标平面内的动点都可以用有序实数对(x,y)表示,这就是动点的坐标.当点按某种规律运动形成曲线时,动点坐标(x,y)中的变量x、y存在着某种制约关系,这种制约关系反映到代数中,就是含有变量x、y的方程.
一般地,在直角坐标系中,如果某曲线C(看做适合某种条件的点的集合或轨迹)上的点与一个二元方程f(x,y)=0的实数解建立了如下的关系:
(1)曲线上点的坐标都是这个方程的解;
(2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点.
那么这个方程就叫做曲线的方程,这条曲线就叫做方程的曲线.
2.求曲线方程的一般步骤(直接法)
(1)建系设点:建立适当的直角坐标系,用(x,y)表示曲线上任一点M的坐标;
(2)列式:写出适合条件p的点M的集合{M|p(M)};
(3)代入:用坐标表示出条件p(M),列出方程f(x,y)=0;
(4)化简:化方程f(x,y)=0为最简形式;
(5)证明:证明以化简后的方程的解为坐标的点都是在曲线上的点

【常用解法】
(1)直接法:根据题目条件,直译为关于动点的几何关系,再利用解析几何有关公式(如两点间的距离公式、点到直线的距离公式、夹角公式等)进行整理、化简.这种求轨迹方程的过程不需要特殊的技巧.
(2)定义法:若动点轨迹的条件符合某一基本轨迹的定义(如椭圆、双曲线、抛物线、圆等),可用定义直接探求.关键是条件的转化,即转化为某一基本轨迹的定义条件.
(3)相关点法:用所求动点P的坐标(x,y)表示已知动点M的坐标(x0,y0),即得到x0=f(x,y),y0=g(x,y),再将x0,y0代入M满足的条件F(x0,y0)=0中,即得所求.一般地,定比分点问题、对称问题可用相关点法求解,相关点法的一般步骤是:设点→转换→代入→化简.
(4)待定系数法
(5)参数法
(6)交轨法.
2.圆与圆的位置关系及其判定
【知识点的认识】
1.圆与圆的位置关系

2.圆与圆的位置关系的判定
设两圆圆心分别为O1,O2,半径分别为r1,r2,|O1O2|=d
(1)几何法:利用两圆的圆心距与两圆半径的关系判断
①外离(4条公切线):d>r1+r2
②外切(3条公切线):d=r1+r2
③相交(2条公切线):|r1﹣r2|<d<r1+r2
④内切(1条公切线):d=|r1﹣r2|
⑤内含(无公切线):0<d<|r1﹣r2|
(2)代数法:联立两圆方程,转化为一元二次方程,但要注意一个x值可能对应两个y值.
 
3.椭圆的简单性质
【知识点的认识】
1.椭圆的范围

2.椭圆的对称性

3.椭圆的顶点
顶点:椭圆与对称轴的交点叫做椭圆的顶点.
顶点坐标(如上图):A1(﹣a,0),A2(a,0),B1(0,﹣b),B2(0,b)
其中,线段A1A2,B1B2分别为拖圆的长轴和短轴,它们的长分别等于2a和2b,a和b分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长.
4.椭圆的离心率
①离心率:椭圆的焦距与长轴长的比叫做椭圆的离心率,用e表示,即:e=,且0<e<1.
②离心率的意义:刻画椭圆的扁平程度,如下面两个椭圆的扁平程度不一样:

e越大越接近1,椭圆越扁平,相反,e越小越接近0,椭圆越圆.当且仅当a=b时,c=0,椭圆变为圆,方程为x2+y2=a2.
5.椭圆中的关系:a2=b2+c2.
4.椭圆的应用
【知识点的知识】
椭圆定义的应用:
1、利用定义求椭圆的标准方程;
2、利用椭圆上点P与两焦点的距离等于2a解决焦点三角形问题.
5.抛物线的简单性质
【知识点的知识】
抛物线的简单性质:

 
6.抛物线的应用
【知识点的知识】
抛物线的简单性质:

 
7.双曲线的定义
【定义】
双曲线(Hyperbola)是指与平面上到两个定点的距离之差的绝对值为定值的点的轨迹,也可以定义为到定点与定直线的距离之比是一个大于1的常数的点之轨迹.双曲线是圆锥曲线的一种,即圆锥面与平面的交截线.双曲线在一定的仿射变换下,也可以看成反比例函数.两个定点F1,F2叫做双曲线的焦点(focus),定直线是双曲线的准线,常数e是双曲线的离心率.
【标准方程】
①(a,b>0),表示焦点在x轴上的双曲线;
②(a,b>0),表示焦点在y轴上的双曲线.
【性质】
这里的性质以(a,b>0)为例讲解:
①焦点为(±c,0),其中c2=a2+b2;②准线方程为:x=±;③离心率e=>1;④渐近线:y=±x;⑤焦半径公式:左焦半径:r=|ex+a|,右焦半径:r=|ex﹣a|.
【实例解析】
例1:双曲线﹣=1的渐近线方程为
解:由﹣=0可得y=±2x,即双曲线﹣=1的渐近线方程是y=±2x.
故答案为:y=±2x.
这个小题主要考察了对渐近线的理解,如果是在记不住,可以把那个等号后面的1看成是0,然后因式分解得到的两个式子就是它的渐近线.
例2:已知双曲线的一条渐近线方程是x﹣2y=0,且过点P(4,3),求双曲线的标准方程

解:根据题意,双曲线的一条渐近线方程为x﹣2y=0,
设双曲线方程为﹣y2=λ(λ≠0),
∵双曲线过点P(4,3),
∴﹣32=λ,即λ=﹣5.
∴所求双曲线方程为﹣y2=﹣5,
即:﹣=1.
一般来书,这是解答题的第一问,常常是根据一些性质求出函数的表达式来,关键是找到a、b、c三者中的两者,最后还要判断它的焦点在x轴还是y轴,知道这些参数后用待定系数法就可以直接写出函数的表达式了.
【考点点评】
这里面的两个例题是最基本的,必须要掌握,由于双曲线一般是在倒数第二个解答题出现,难度一般也是相当大的,在这里可以有所取舍,对于基础一般的同学来说,尽量的把这些基础的分拿到才是最重要的,对于还剩下的部分,尽量多写.
 
8.双曲线的简单性质
【知识点的知识】
双曲线的标准方程及几何性质
标准方程 (a>0,b>0) (a>0,b>0)
图形

性质 焦点 F1(﹣c,0),F2( c,0) F1(0,﹣c),F2(0,c)
焦距 |F1F2|=2c a2+b2=c2
范围 |x|≥a,y∈R |y|≥a,x∈R
对称 关于x轴,y轴和原点对称
顶点 (﹣a,0).(a,0) (0,﹣a)(0,a)
轴 实轴长2a,虚轴长2b
离心率 e=(e>1)
准线 x=± y=±
渐近线 ±=0 ±=0
 
9.双曲线的应用
【知识点的知识】
双曲线的标准方程及几何性质
标准方程 (a>0,b>0) (a>0,b>0)
图形

质 焦点 F1(﹣c,0),F2( c,0) F1(0,﹣c),F2(0,c)
焦距 |F1F2|=2c a2+b2=c2
范围 |x|≥a,y∈R |y|≥a,x∈R
对称 关于x轴,y轴和原点对称
顶点 (﹣a,0).(a,0) (0,﹣a)(0,a)
轴 实轴长2a,虚轴长2b
离心率 e=(e>1)
准线 x=± y=±
渐近线 ±=1 ±=1
 
10.圆锥曲线的共同特征
【知识点的知识】
圆锥曲线的共同特征:
圆锥去想上的点到一个定点的距离与它到定直线的距离之比为定值e.当0<e<1时,圆锥曲线是椭圆;当e>1时,圆锥曲线是双曲线;当e=1时,圆锥去想是抛物线.其中定点是圆锥曲线的一个焦点,定直线是相应于这个交点的准线.
 
11.直线与圆锥曲线的关系
【直线与圆锥曲线的关系】
直线与圆锥曲线的关系主要是相不相交,交点个数为多少,由此而引出的圆锥曲线到直线的距离,圆锥曲线与直线相切,直线截圆锥曲线的线段长度等问题,是高考的一个重点,也是高考的一个难点.下面简单的说一个例题供大家参悟.
【例题讲解】
例:已知△ABC的两个顶点A,B的坐标分别是(0,﹣1),(0,1),且AC,BC所在直线的斜率之积等于m(m≠0).
(1)求顶点C的轨迹E的方程,并判断轨迹E为何种圆锥曲线;
(2)当m=﹣时,过点F(1,0)的直线l交曲线E于M,N两点,设点N关于x轴的对称点为Q(M,Q不重合) 试问:直线MQ与x轴的交点是否为定点?若是,求出定点,若不是,请说明理由.
解:(1)设点C(x,y),由AC,BC所在直线的斜率之积等于m(m≠0),
得:,化简得:﹣mx2+y2=1(x≠0).
当m<﹣1时,轨迹E表示焦点在y轴上的椭圆,且除去(0,1),(0,﹣1)两点;
当m=﹣1时,轨迹E表示以(0,0)为圆心,半径是1的圆,且除去(0,1),(0,﹣1)两点;
当﹣1<m<0时,轨迹E表示焦点在x轴上的椭圆,且除去(0,1),(0,﹣1)两点;
当m>0时,轨迹E表示焦点在y轴上的双曲线,且除去(0,1),(0,﹣1)两点.
(2)当m=﹣时,曲线E的方程为.
由题意可知直线l的斜率存在切不等于0,则可设l:y=k(x﹣1),
再设M(x1,y1),N(x2,y2),Q(x2,﹣y2) (x1≠x2).
联立,得(1+2k2)x2﹣4k2x+2k2﹣2=0.
∴,
∵M,Q不重合,则x1≠x2,y1≠﹣y2.
∴MQ所在直线方程为,
令y=0,得=
=.
∴直线MQ过定点(2,0).
这个题符合高考的一贯命题思路,先求曲线表达式,第二问讨论的是直线与点的关系,严格的来说线段也可以说是点的关系.解题思路就是应用韦达定理,把直线的自变量和因变量都用x1,x2和参数k表示,然后看自变量和因变量的关系,应该说思路不难,难点在于计算,这也告诉大家,要解决好这类题,计算能力必须加强,另外,考的时候尽量合理利用时间.
【考点点评】
本考点是非常重要的一个考点,基本上都是作为压轴题的形式在考试中出现,解决这类题除了掌握常用的一些方法外,还需要加强计算的能力,在考试当中尽量的多拿分.
 
12.直线与圆锥曲线的综合问题
【概述】
直线与圆锥曲线的综合问题是高考的必考点,比方说求封闭面积,求距离,求他们的关系等等,常用的方法就是联立方程求出交点的横坐标或者纵坐标的关系,通过这两个关系的变形去求解.
【实例解析】
例:已知圆锥曲线C上任意一点到两定点F1(﹣1,0)、F2(1,0)的距离之和为常数,曲线C的离心率.
(1)求圆锥曲线C的方程;
(2)设经过点F2的任意一条直线与圆锥曲线C相交于A、B,试证明在x轴上存在一个定点P,使的值是常数.
解:(1)依题意,设曲线C的方程为(a>b>0),
∴c=1,
∵,
∴a=2,
∴,
所求方程为.
(2)当直线AB不与x轴垂直时,设其方程为y=k(x﹣1),
由,
得(3+4k2)x2﹣8k2x+4(k2﹣3)=0,
从而,,
设P(t,0),则
=
当,
解得
此时对∀k∈R,;
当AB⊥x轴时,直线AB的方程为x=1,
xA=xB=1,,
对,,
即存在x轴上的点,使的值为常数.
这是一道符合高考命题思维的题型,一般命题思路都是第一问叫你求曲线的表达式;第二问在求证某种特殊的关系,像本题求证是个常数这是高考中非常喜欢考的一种形式.我们看看解答思路,第一问就是求a、b、c中的两个值即可;第二问先是联立方程,然后把我们要证的这个关系转化为根与系数的关系,这也是常用的方法.
【考点分析】
必考题,也是难题,希望大家多总结,尽量去总结一下各种题型和方法,在考试的时候,如果运算量大可以适当的放到最后做.
 

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